Question

如果函數(shù)f（x）=a^x（a^x-3a²-1）（a＞0且a≠1）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：先化簡(jiǎn)f（x）的表達(dá)式，令t=a^x．則f（t）=t²-（3a²+1）t（t＞0）．下面對(duì)參數(shù)a分類(lèi)討論，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的方法求解即可．
解答：解：由題意得f（x）=（a^x）²-（3a²+1）a^x，
令t=a^x．f（t）=t²-（3a²+1）t（t＞0）．
當(dāng)a＞1時(shí)，t=a^x在[0，+∞）上為增函數(shù)，則此時(shí)t≥1，
而對(duì)于f（t）而言，對(duì)稱(chēng)軸t=＞2，
故f（x）在[0，+∞）上不可能為增函數(shù)；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，t=a^x在[0，+∞）上為減函數(shù)，
此時(shí)0＜t＜1，要使f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，
則f（t）在（0，1]上必為減函數(shù)，故≥1．
∴a≥或a≤，
∴．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．