Question

已知f（x）=（x-2）•|x+1|若關(guān)于x的方程f（x）=x+t有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)t的取值范圍（　　）

A．（-1，1]

B．[-3，2）

C．（-3，1）

D．（-1，2）

Answer 1

分析：分別作出函數(shù)f（x）和g（x）=x+t的圖象，利用圖象確定兩個(gè)函數(shù)滿足有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解的等價(jià)條件即可求t的取值范圍．

解答：解：當(dāng)x≥-1時(shí)，f（x）=（x-2）（x+1）=x²-x-2，
當(dāng)x＜-1時(shí)，f（x）=-（x-2）（x+1）=-x²+x+2，
設(shè)g（x）=x+t，∴要使方程f（x）=x+t有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即函數(shù)f（x）和g（x）=x+t有3個(gè)不同的交點(diǎn)．
作出函數(shù)f（x）的圖象，由圖象可知，
當(dāng)直線y=x+t經(jīng)過點(diǎn)（-1，0）時(shí)，兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)t=1．
當(dāng)x＞-1時(shí)，當(dāng)直線y=x+t與拋物線相切時(shí)，兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，
由f（x）=x²-x-2=x+t得，x²-2x-2-t=0，
判別式△=4-4（-2-t）=0，即4+8+4t=0，∴t=-3，
此時(shí)直線y=x-3與拋物線相切，
∴要使函數(shù)f（x）和g（x）=x+t有3個(gè)不同的交點(diǎn)，
則-3＜t＜1，
即數(shù)t的取值范圍是（-3，1），
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查方程根的個(gè)數(shù)的應(yīng)用，將方程問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的問題是解答本題的關(guān)鍵．利用數(shù)形結(jié)合是解決此類問題的基本方法．