Question

已知圓C：（x-a）²+（y-2）²=4（a＞0）及直線l：x-y+3=0．當(dāng)直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為2

2

時(shí)，求
（Ⅰ）a的值；
（Ⅱ）求過(guò)點(diǎn)（3，5）并與圓C相切的切線方程．

Answer 1

（Ⅰ）依題意可得圓心C（a，2），半徑r=2，
則圓心到直線l：x-y+3=0的距離d=

|a-2+3|

12+(-1)2

=

|a+1|

2

，
由勾股定理可知d2+(

2 2

2

)2=r2，代入化簡(jiǎn)得|a+1|=2，
解得a=1或a=-3，
又a＞0，所以a=1；
（Ⅱ）由（1）知圓C：（x-1）²+（y-2）²=4，圓心坐標(biāo)為（1，2），圓的半徑r=2
由（3，5）到圓心的距離為

4+9

=

13

＞r=2，得到（3，5）在圓外，
∴①當(dāng)切線方程的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y-5=k（x-3）
由圓心到切線的距離d=

|-2k+3|

k2+1

=r=2，
化簡(jiǎn)得：12k=5，可解得k=

5

12

，
∴切線方程為5x-12y+45=0；
②當(dāng)過(guò)（3，5）斜率不存在直線方程為x=3與圓相切．
由①②可知切線方程為5x-12y+45=0或x=3．