Question

已知ABCD是空間四邊形形，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，如果對角線AC=4，BD=2，那么EG²+HF²的值等于（　�。�

A．10

B．15

C．20

D．25

Answer 1

如下圖所示
依次連接EF、FG、GH、HE
∵E是AB中點，H是AD中點，
∴EH∥BD，且EH=

1

2

BD=1
同理：
FG∥BD，F(xiàn)G=

1

2

BD=1
所以，EH∥FG，EH=FG
同理，EF∥HG，EF=HG
所以，四邊形EFGH為邊長為1、2的平行四邊形
設(shè)∠EHG=θ，那么∠HEF=180°-θ
在△EHG中，由余弦定理有：
EG²=EH²+HG²-2×EH×HG×cosθ=1+4-4cosθ=5-4cosθ
在△EFH中，由余弦定理有：
FH²=EF²+EH²-2×EF×EH×cos（180°-θ）=4+1-4cos（180°-θ）=5+4cosθ
上述兩式相加，得到：
EG²+FH²=5-4cosθ+5+4cosθ=10
故選A