Question

13．已知函數(shù)f（x）=|2x+1|+|2x-3|．
（1）求不等式f（x）≤6的解集；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）-a＞2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，求出每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）利用絕對(duì)值三角不等式，求得f（x）的最小值，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）原不等式等價(jià)于：$\left\{\begin{array}{l}{x＜-\frac{1}{2}}\\{-2x-1+（3-2x）≤6}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}}\\{2x+1+（3-2x）≤6}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{3}{2}}\\{2x+1+（2x-3）≤6}\end{array}\right.$③，
解①求得-1≤x＜-$\frac{1}{2}$，解②求得-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$，解③求得$\frac{3}{2}$＜x＜2，故不等式的解集為{x|-1≤x≤2}．
（2）不等式f（x）-a＞2等價(jià)于a+2＜|2x+1|+|2x-3|．
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=|2x+1|+|2x-3|≥|2x+1-（2x-3）|=4，所以f（x）的最小值為4，
于是，a+2＜4，求得a＜2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，絕對(duì)值三角不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．