Question

求證：如果兩個平面都垂直于第三個平面，則它們的交線垂直于第三個平面．

已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l．

求證：l⊥γ．

Answer 1

答案：
解析：

分析1：根據(jù)直線和平面垂直的判定定理可在γ內(nèi)構造兩相交直線分別與兩平面α、β垂直． 　　證法1：如圖，設α∩γ＝a，β∩γ＝b，在γ內(nèi)任取一點P，過點P在γ內(nèi)作直線m⊥a，n⊥b． 　　∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥α，n⊥β． 　　又α∩β＝l，∴l⊥m，l⊥n，∴l⊥γ． 　　分析2：由面面垂直的性質(zhì)，易在α、β內(nèi)作出γ的垂線，再證與l平行．

提示：

充分利用面面垂直的性質(zhì)構造線面垂直是解決本題的關鍵．證法1充分利用面面垂直、線面垂直、線線垂直相互轉化；證法2涉及垂直關系與平行關系的轉化；證法3實質(zhì)是同一法．