Question

已知橢圓的右頂點為A，離心率，過左焦點F（-1，0）作直線l與橢圓交于點P，Q，直線AP，AQ分別與直線x=-4交于點M，N．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）證明以線段MN為直徑的圓經過焦點F．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由離心率，過左焦點F（-1，0），可求得 c=1，a=2，從而可求b=，進而可得橢圓方程；
（Ⅱ） 斜率存在時，設直線l方程為 y=k（x+1），與橢圓方程聯立，消去y 整理得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0．進而可求M，N的坐標，從而可證 ；斜率不存在時，同理可證 ，從而以線段MN為直徑的圓經過定點F
解答：解：（Ⅰ）由已知 c=1，，
∴a=2，b=，
∴橢圓方程為=1．--------------（5分）
證明：（Ⅱ） 設直線l方程為 y=k（x+1），
由  得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=-．-----（7分）
設M（-4，y_M），N（-4，y_N），則由A，P，M共線，得，有 y_M=-．同理 y_N=-．
∴y_My_N=．------（9分）
∴，即FM⊥FN，以線段MN為直徑的圓經過點F；----（12分）

當直線l的斜率不存在時，不妨設M（-4，3），N（-4，-3）．則有）=9-9=0，
∴，即FM⊥FN，以線段MN為直徑的圓經過點F．
綜上所述，以線段MN為直徑的圓經過定點F．-----------（14分）
點評：本題以橢圓的幾何性質為載體，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，同時考查向量與解析幾何的交匯，綜合性強．