Question

19．如圖，已知四邊形ABCD和BCGE均為直角梯形，AD∥BC，CE∥BG且∠BCD=∠BCE=$\frac{π}{2}$，平面ABCD⊥平面BCGE，BC=CD=CE=2AD=2BG=2．
（1）求證：AG∥平面BDE；
（2）求三棱錐G-BDE的體積．

Answer 1

分析 （1）由題意可證CD⊥CB，CD⊥CE，CB⊥CE，所以以C為原點(diǎn)，CD為x軸，CB為y軸，CE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線AG的方向向量$\overrightarrow{AG}$與平面BDE的法向量$\overrightarrow{n}$，由$\overrightarrow{AG}•\overrightarrow{n}$=0證之即可；（2）應(yīng)用等體積轉(zhuǎn)換求體積即可，即V_G-DEF=V_D-EFG=$\frac{1}{3}×{S}_{△EFG}•h$求之．

解答 證明：（1）∵平面ABCD⊥平面BCEG，平面ABCD∩平面BCEG=BC，CE⊥BC，CE?平面BCEG，
∴EC⊥平面ABCD，
以C為原點(diǎn)，CD為x軸，CB為y軸，CE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則B（0，2，0），D（2，0，0），E（0，0，2），A（2，1，0），G（0，2，1），
設(shè)平面BDE的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{EB}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{ED}$=（2，0，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EB}=2y-2z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{ED}=2x-2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
∵$\overrightarrow{AG}$=（-2，1，1），∴$\overrightarrow{AG}•\overrightarrow{n}$=0，∴$\overrightarrow{AG}⊥\overrightarrow{n}$，
∵AG?平面BDE，∴AG∥平面BDE．
解：（2）${V}_{G-DBE}={V}_{D-BEG}=\frac{1}{3}×{S}_{△BEG}•h$，
∵CD⊥BC，面ABCD⊥面BVEG，
而面ABCD∩面BCEG=BC，∴CD⊥平面BCEG，
∴h=CD=2，
∴V_G-BDE=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×2$=$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．