Question

如圖展示了一個由區(qū)間（0，1）到實(shí)數(shù)集R的映射過程：區(qū)間（0，1）中的實(shí)數(shù)m對應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)M，如圖1；將線段AB圍成一個圓，使兩端點(diǎn)A、B恰好重合，如圖2；再將這個圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其圓心在y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），如圖3．圖3中直線AM與x軸交于點(diǎn)N（n，0），則m的象就是n，記作f（m）=n．

下列說法中正確命題的序號是

 

．（填出所有正確命題的序號）
①f(

1

4

)=1；②f（x）在定義域上單調(diào)函數(shù)；③f（x）是奇函數(shù)；④f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(

1

2

，0)對稱．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：當(dāng)M為四分之一分點(diǎn)時，N點(diǎn)落在x軸的負(fù)半軸上，則f(

1

4

)＜0≠1，命題①錯誤；
當(dāng)自變量x逐步增大時，N點(diǎn)沿x軸從x軸的負(fù)半軸逐步過渡到x軸的正半軸，即n逐步增大，則f（x）在定義域上單調(diào)遞增；
自變量x的取值范圍為（0，1），則f（x）不是奇函數(shù)；
由圖3結(jié)合題意可得，當(dāng)M點(diǎn)的位置離中間位置相等時，N點(diǎn)關(guān)于Y軸對稱，即此時函數(shù)值互為相反數(shù)判斷④正確．

解答： 解：∵當(dāng)m=

1

4

時，此時M恰好處在左半圓弧的中點(diǎn)上，此時直線AM的方程為y=x+1，取y=0，得x=-1，
即f（

1

4

）=-1，
∴①是錯誤命題；
②由圖3可以看出，m由0增大到1時，M由A運(yùn)動到B，此時N由x的負(fù)半軸向正半軸運(yùn)動，由此知，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)逐漸變大，故f（x）在定義域上單調(diào)遞增是正確的，
∴②是正確命題；
③由函數(shù)是奇函數(shù)，其定義域必關(guān)于原點(diǎn)對稱，而m∈（0，1），不是奇函數(shù)，
∴③是錯誤命題；
④由圖3可以看出，當(dāng)M點(diǎn)的位置離中間位置相等時，N點(diǎn)關(guān)于Y軸對稱，即此時函數(shù)值互為相反數(shù)，故可知f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(

1

2

，0)對稱，
∴④是正確命題．
綜上知，②④是正確命題．
故答案為：②④．

點(diǎn)評：本題考查映射的概念，解答本題關(guān)鍵是理解題設(shè)中所給的對應(yīng)關(guān)系，正確認(rèn)識三個圖象的意義，由此對四個命題的正誤作出判斷，本題題型新穎，寓數(shù)于形，是一個考查理解能力的題，本題由于理解不了題意而導(dǎo)致無法下手，較抽象，是難題．