Question

設函數(shù)f（x）=lnx+ax（a∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若x•f（x）≤a對任意x≥1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）先求出f′（x）=

1+ax

x

，x＞0，討論當a≥0時，當a＜0時的情況，從而求出單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）x•f（x）≤a對任意x≥1恒成立?f（x）-

a

x

≤0對x≥1恒成立．令g（x）=f（x）-

a

x

，x≥1，則g（1）=0，g′（x）=

ax2+x+a

x2

，令h（x）=ax²+x+a，x≥1，討論當a≥0時，當a＜0時的情況，綜合得出a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=

1+ax

x

，x＞0，
當a≥0時，f′（x）＞0，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），無單調(diào)遞減區(qū)間．
當a＜0時，令f′（x）＞0，得0＜x＜-

1

a

，令f′（x）＜0，得x＞-

1

a

，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，-

1

a

），單調(diào)遞減區(qū)間為（-

1

a

，+∞）．
（Ⅱ）x•f（x）≤a對任意x≥1恒成立?f（x）-

a

x

≤0對x≥1恒成立．
令g（x）=f（x）-

a

x

，x≥1，則g（1）=0，g′（x）=

ax2+x+a

x2

，
令h（x）=ax²+x+a，x≥1，
當a≥0時，g′（x）≥0，g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，故g（x）≥g（1）=0，不符合．
當a＜0時，h（x）的對稱軸方程為x=-

1

2a

＞0，
i．若-

1

2a

≤1，即a≤-

1

2

，此時h（1）=1+2a≤0，即h（x）≤0，則g′（x）≤0對于x≥1恒成立，即g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞減，故g（x）≤g（1）=0，符合．
ii．若-

1

2a

＞1，即-

1

2

＜a＜0，此時h（1）=1+2a＞0，此時h（x）必有兩個零點x₁，x₂，
則x₁•x₂=1，不妨設x₁＜x₂，則h（x）在（1，x₂）恒大于零，即g（x）在（1，x₂）恒成立
即g（x）在[1，x₂）單調(diào)遞增，故當x∈（1，x₂），g（x）≥g（1）=0，不符合．
綜述所述 a的取值范圍為（-∞，-

1

2

]．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、導數(shù)的運算法則、導數(shù)應用、恒成立問題等基礎知識，同時考查抽象概括、推理論證能力．