在△ABC中，兩個定點(diǎn)A（-3，0）B（3，0），△ABC的垂心H（三角形三條高線的交點(diǎn)）是AB邊上高線CD的中點(diǎn)．
（1）求動點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）斜率為2的直線l交動點(diǎn)C的軌跡于P、Q兩點(diǎn)，求△OPQ面積的最大值（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）設(shè)動點(diǎn)C（x，y）則D（x，0）．因為H是CD的中點(diǎn)，故H(x，
y
2
)
因為AH⊥BC所以kAH•kBC=-1故
y
2
x+3
•
y
x-3
=-1
整理得動點(diǎn)C的軌跡方程
x2
9
+
y2
18
=1(y≠0)
（2）設(shè)l：y=2x+m并代入
x2
9
+
y2
18
=1(y≠0)得6x2+4mx+m2-18=0，
∵△=（4m）2-4×6×（m2-18）＞0
∴54-m2＞0  
 即m∈(-3
6
，3
6
)，
 |PQ|=
(1+22)[(-
4m
6
)2-4•
m2-18
6
]
=
10
3
54-m2

又原點(diǎn)O到直線l的距離為d=
|m|
5

∴S△OPQ=
1
2
×
10
3
×
54-m2
×
|m|
5
=
2
6
(54-m2)m2
≤
2
6
×
54-m2+m2
2
=
9
2
2
          
當(dāng)且僅當(dāng)54-m2=m2即m=±3
3
時等號成立，
故△OPQ面積的最大值為
9
2
2
．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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在△ABC中，a=xcm，b=2cm，B=45°，若用正弦定理解此三角形時有兩個解，則x的取值范圍是
(2，2
2
)
(2，2
2
)
．

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(1)求A的大��；

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