Question

（本小題滿分12分）

正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，已知AB=2，E，F(xiàn)分別是D₁B，AD的中點(diǎn)，

（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出E點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）證明：EF是異面直線D₁B與AD的公垂線；

（3）求二面角D₁—BF—C的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

（1）E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1，1）. （2）見(jiàn)解析；（3）二面角D₁—BF—C的余弦值為.

【解析】(1) 以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD₁所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則易確定A、B、C的坐標(biāo)分別為A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0）.設(shè)D­₁（0，0，2m）（m>0），則E（1, 1, m）.

   

(2)利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算證明和即可.

(3)利用向量法求二面角，首先求出兩個(gè)面的法向量，再根據(jù)法向量的夾角與二面角相等或互補(bǔ)來(lái)求二面角的大小.

（1）以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD₁所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A、B、C的坐標(biāo)分別為A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0）.

設(shè)D­₁（0，0，2m）（m>0），則E（1, 1, m）.

故E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1，1）.                                  …………………4分

（2）由（I）可知，正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁是棱長(zhǎng)為2的正方體.

又∵FD=1， ∴F（1，0，0），

故EF是AD與D₁B的公垂線.                                  …………………8分

（3）設(shè)n⊥平面FD₁B，n=（x，y，z）

       

        取n₀=（2，－1，1），                               …………………10分

        則n₀與所成角θ等于二面角D₁—FB—C的平面角，

       

∴二面角D₁—BF—C的余弦值為                          …………………12分

解法二：（Ⅲ）延長(zhǎng)CD交BF延長(zhǎng)線于P，作DN⊥BP于N，連ND₁，

        ∵DD₁⊥平面ABCD，       ∴ND₁⊥BP，

∴∠DND₁就   是二面角D₁—FD—C的平面角.       ……10分

在Rt△DFP中，DP=2，F(xiàn)D=1，F(xiàn)P=，  

∴二面角D₁—BF—C的余弦值為.    ……………………12分