Question

已知在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，O為AB中點，AD∥BC，AB⊥BC，PA=PB=BC=AB=2，AD=3．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面POC；
（Ⅱ）求二面角O-PD-C的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵PA=PB=AB，O為AB中點，∴PO⊥AB
∵側(cè)面PAB⊥底面ABCD，PO?側(cè)面PAB，側(cè)面PAB∩底面ABCD=AB，∴PO⊥底面ABCD
∵CD?底面ABCD，∴PO⊥CD
在Rt△OBC中，OC²=OB²+BC²=5
在Rt△OAD中，OD²=OA²+AD²=10
在直角梯形ABCD中，CD²=AB²+（AD-BC）²=5
∴OC²+CD²=OD²，∴△ODC是以∠OCD為直角的直角三角形，∴OC⊥CD
∵OC，OP是平面POC內(nèi)的兩條相交直線
∴CD⊥平面POC…（6分）
（Ⅱ）解法一：如圖建立空間直角坐標系O-xyz，則，D（-1，3，0），C（1，2，0）
∴
假設(shè)平面OPD的一個法向量為，平面PCD的法向量為，則
由可得，取y₁=1，得x₁=3，z₁=0，即，
由可得，取，得，z₂=5，
即，∴
故二面角O-PD-C的余弦值為．…（12分）
解法二：過點C作CM⊥OD于點M，過點M作MN⊥PD于點N，連接CN．
則由于PO⊥平面OCD，PO?平面POD，所以平面POD⊥平面OCD，
∵CM?平面OCD，平面POD∩平面OCD=OD，∴CM⊥平面POD，∴CM⊥PD，
∵MN⊥PD，MN∩CM=M，∴PD⊥平面MCN，∴PD⊥NC，
即∠MNC是二面角O-PD-C的平面角．
在Rt△OCD中，，
在Rt△PCD中，，
所以，所以
故二面角O-PD-C的余弦值為．…（12分）
分析：（Ⅰ）利用側(cè)面PAB⊥底面ABCD，可證PO⊥底面ABCD，從而可證PO⊥CD，利用勾股定理，可證OC⊥CD，從而利用線面垂直的判定，可得CD⊥平面POC；
（Ⅱ）解法一：建立坐標系，確定平面OPD、平面PCD的一個法向量，利用向量的夾角公式，可求二面角O-PD-C的余弦值；
解法二：過點C作CM⊥OD于點M，過點M作MN⊥PD于點N，連接CN，證明∠MNC是二面角O-PD-C的平面角，從而可求二面角O-PD-C的余弦值．
點評：本題考查線面垂直，考查面面角，考查向量方法解決空間角問題，正確運用線面垂直的判定是關(guān)鍵．