Question

已知某廠生產(chǎn)x件產(chǎn)品的總成本為f（x）=25000+200x+（元）．
（1）要使生產(chǎn)x件產(chǎn)品的平均成本最低，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？
（2）若產(chǎn)品以每件500元售出，要使利潤(rùn)最大，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)題意設(shè)生產(chǎn)x件產(chǎn)品的平均成本為y元，再結(jié)合平均成本的含義得出函數(shù)y的表達(dá)式，最后利用導(dǎo)數(shù)求出此函數(shù)的最小值即可；
（2）先寫出利潤(rùn)函數(shù)的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)求出此函數(shù)的極值，從而得出函數(shù)的最大值，即可解決問題：要使利潤(rùn)最大，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品．
解答：解：（1）設(shè)生產(chǎn)x件產(chǎn)品的平均成本為y元，則（2分）（3分）
令y'=0，得x₁=1000，x₂=-1000（舍去）（4分）
當(dāng)x∈（0，1000）時(shí)，y取得極小值．
由于函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)，所以函數(shù)在該點(diǎn)取得最小值，
因此要使平均成本最低，應(yīng)生產(chǎn)1000件產(chǎn)品（6分）
（2）利潤(rùn)函數(shù)（8分）（9分）
令L'（x）=0，得x=6000（10分）
當(dāng)x∈（0，6000）時(shí)，L'（x）＞0
當(dāng)x∈（600，+∞）時(shí)，L'（x）＜0∴x=6000時(shí)，L（x）取得極大值，即函數(shù)在該點(diǎn)取得最大值，
因此要使利潤(rùn)最大，應(yīng)生產(chǎn)6000件產(chǎn)品（12分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查根據(jù)實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型，以及運(yùn)用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問題的能力．