Question

14、直線y=ex+b（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）與兩個(gè)函數(shù)f（x）=e^x，g（x）=lnx的圖象至多有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是

[-2，0]

．

Answer 1

分析：直線與兩個(gè)函數(shù)的圖象至多有一個(gè)公共點(diǎn)，可以分為①與f（x）=e^x的圖象有一個(gè)公共點(diǎn)，且與g（x）=lnx的圖象沒(méi)有公共點(diǎn)；以及②與g（x）=lnx的圖象有一個(gè)公共點(diǎn)與f（x）=e^x的圖象沒(méi)有公共點(diǎn)；③和與兩個(gè)函數(shù)的圖象都沒(méi)有公共點(diǎn)三種情況．

解答：解：當(dāng)y=ex+b與函數(shù)f（x）=e^x有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，轉(zhuǎn)化為ex+b=e^x只有一個(gè)根，令F（x）=e^x-（ex+b），則其導(dǎo)函數(shù)為F^/（x）=e^x-e，所以F^/（x）＞0時(shí)x＞1，F(xiàn)^/（x）＜0時(shí)x＜1，則F（x）在x=1時(shí)取極小值F（1）=-b，所以當(dāng)y=ex+b與函數(shù)f（x）=e^x有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)須-b=0，即b=0．當(dāng)y=ex+b與函數(shù)f（x）無(wú)公共點(diǎn)時(shí)須-b＞0，即b＜0．
同理可得y=ex+b與g（x）=lnx有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b=-2，當(dāng)y=ex+b與函數(shù)g（x）=lnx無(wú)公共點(diǎn)時(shí)，b＞-2．
故與f（x）=e^x的圖象有一個(gè)公共點(diǎn)，且與g（x）=lnx的圖象沒(méi)有公共點(diǎn)成立時(shí)b=0，
與g（x）=lnx的圖象有一個(gè)公共點(diǎn)與f（x）=e^x的圖象沒(méi)有公共點(diǎn)成立時(shí)b=-2，
與兩個(gè)函數(shù)的圖象都沒(méi)有公共點(diǎn)成立時(shí)-2＜b＜0，
綜上可知[-2，0]
故答案為：[-2，0]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)應(yīng)方程根的問(wèn)題，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)在研究方程中的應(yīng)用