Question

已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在x軸上，且經(jīng)過A（-2，0）、B（1，

3

2

）兩點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若橢圓E的左、右焦點分別是F₁、F₂，過點F₂的直線l與橢圓E交于M、N兩點，則△F₁MN的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及直線l的方程； 若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設橢圓E的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由已知得

4 a2 =1 1 a2 + 9 4b2 =1

，由此能求出橢圓E的方程．
（2）設M（x₁，y₁）、N（x²，y²），不妨設y₁＞0，y₂＜0，設△F₁MN的內(nèi)切圓的半徑為R，則S△F1MN=

1

2

（|MN|+|MF₁|+|NF₁|）R=4R當S△F1MN最大時，R也最大，△F₁MN的內(nèi)切圓的面積也最大，由此能求出△F₁MN的內(nèi)切圓的面積的最大值是

9π

16

，此時，m=0，直線l的方程是x=1．

解答： 解：（1）設橢圓E的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵橢圓E經(jīng)過A（-2，0）、B（1，

3

2

）兩點，
∴

4 a2 =1 1 a2 + 9 4b2 =1

，解得a²=4，b²=3，
∴橢圓E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設M（x₁，y₁）、N（x²，y²），不妨設y₁＞0，y₂＜0，
設△F₁MN的內(nèi)切圓的半徑為R，
則S△F1MN=

1

2

（|MN|+|MF₁|+|NF₁|）R
=

1

2

[（|MF₁|+|MF₂|）+（|NF₁|+|NF₂|）]R=4R
當S△F1MN最大時，R也最大，△F₁MN的內(nèi)切圓的面積也最大，
又S△F1MN=

1

2

|F₁F₂||y₁|+

1

2

|F₁F₂||y₂|，
|F₁F₂|=2c=2
∴S△F1MN=|y₁|+|y₂|=y₁-y₂，
由

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

，得（3m²+4）y²+6my-9=0，
則△=（6m）²+4×9（3m²+4）＞0恒成立，
y₁+y₂=

-6m

3m2+4

，y₁•y₂=

-9

3m2+4

，
∴y₁-y₂=

(y1+y2)2-4y1y2

=

( -6m 3m2+4 )2-4× -9 3m2+4

=

12 m2+1

3m2+4

，
∴S△F1MN=

12 m2+1

3m2+4

，
設

m2+1

=t，則t≥1，且m2=t-1，
∴S△F1MN=

12t

3(t-1)2+4

=

12t

3t2+1

，
∴函數(shù)f（t）在[1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，
∴fmax（t）=f（1）=3，即S△F1MN的最大值是3
∴4R≤3，R≤

3

4

，即R的最大值是

3

4

，
∴△F₁MN的內(nèi)切圓的面積的最大值是

9π

16

，
此時，m=0，直線l的方程是x=1．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形內(nèi)切圓面積的最大值的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意橢圓弦長公式的合理運用．