Question

已知集合A={x|x²+4ax-4a+3=0}，B={x|x²+2ax-2a=0}，C={x|x²+（a-1）x+a²=0}．
（1）若A、B、C中至少有一個(gè)不是空集，求a的取值范圍；
（2）若A、B、C中至多有一個(gè)不是空集，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：空集的定義、性質(zhì)及運(yùn)算

專題：集合

分析：（1）可考慮問(wèn)題的反面，即三個(gè)集合都是空集，則問(wèn)題就簡(jiǎn)單多了；
（2）至多一個(gè)非空，則三個(gè)集合中可能是兩個(gè)空集一個(gè)非空、或是三個(gè)皆空．

解答： 解：對(duì)于A，若為空集，則（4a）²-4（3-4a）＜0，解得-

3

2

＜a＜

1

2

①；
對(duì)于B，若為空集，則（2a）²+8a＜0，解得-2＜a＜0②；
對(duì)于C，若為空集，則（a-1）²-4a²＜0，解得a＜-1或a＞

1

3

③，
（1）若A、B、C中至少有一個(gè)不是空集，其對(duì)立面為三個(gè)集合全是空集，聯(lián)立①②③
解得-

3

2

＜a＜-1，所以A，B，C中至少有一個(gè)非空的a范圍是a≤-

3

2

或a≥-1．
（2）若A、B、C中至多有一個(gè)不是空集，則三個(gè)集合全空；或兩個(gè)空集，一個(gè)非空，
先求兩空一非空：
則有

- 3 2 ＜a＜ 1 2 -2＜a＜0 -1≤a≤ 1 3

或

- 3 2 ＜a＜ 1 2 a＜-1或a＞ 1 3 a≤-2或a≥0

或

a≤- 3 2 或a≥ 1 2 -2＜a＜0 a＜-1或a＞ 1 3

解這三個(gè)不等式組得-1＜a＜0或

1

3

＜a＜

1

2

或-2＜a≤-

3

2

，結(jié)合（1）中三個(gè)集合全空的a范圍，取它們的并集得：
a的范圍是（-2，-1）∪（-1，0）∪（

1

3

，

1

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要以方程的根的個(gè)數(shù)的判斷為切入點(diǎn)考查集合的運(yùn)算問(wèn)題，要真正理解至多、至少得真正含義，才能做好本題．