Question

對于n∈N^*，用數(shù)學(xué)歸納法證明：
1•n+2•（n-1）+3•（n-2）+…+（n-1）•2+n•1=

1

6

n（n+1）（n+2）．

Answer 1

分析：根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟，首先驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)成立，進(jìn)而假設(shè)n=k時(shí)等式成立，證明n=k+1時(shí)，等式也成立；最后作答即可．

解答：證明：設(shè)f（n）=1•n+2•（n-1）+3•（n-2）+…+（n-1）•2+n•1．
（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=1，等式成立；
（2）設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即1•k+2•（k-1）+3•（k-2）+…+（k-1）•2+k•1=

1

6

k（k+1）（k+2），
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
f（k+1）=1•（k+1）+2[（k+1）-1]+3[（k+1）-2]+…+[（k+1）-2]•3+[（k+1）-1]•2+（k+1）•1
=f（k）+1+2+3+…+k+（k+1）
=

1

6

k（k+1）（k+2）+

1

2

（k+1）（k+1+1）
=

1

6

（k+1）（k+2）（k+3）．
∴由（1）（2）可知當(dāng)n∈N^*時(shí)等式都成立．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)學(xué)歸納法的證明，需要牢記數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟，特別要注意從k到k+1等式的形式的變化、區(qū)別．