Question

直三棱柱A₁B₁C₁-ABC的三視圖如圖所示，D、E分別為棱CC₁和B₁C₁的中點．
 （1）求點B到平面A₁C₁CA的距離；
（2）求二面角B-A₁D-A的余弦值；
（3）在AC上是否存在一點F，使EF⊥平面A₁BD，若存在確定其位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知中的三視圖，我們可以判斷直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中CA=CB=CC₁=2，∠ACB=90°，則BC⊥平面A₁C₁CA，則BC長即為點B到平面A₁C₁CA的距離；
（2）由C為坐標原點建立空間直角坐標系，分別求出平面A₁DB的法向量及面ACC₁A₁的法向量后，代入向量夾角公式，即可得到二面角B-A₁D-A的余弦值；
（3）設F（x，0，0），由E（0，1，2），可求出向量

EF

，則

EF

為平面A₁BD的一個法向量，由此構造方程，求出x值，即可得到F點的位置．

解答：解：（1）由已知得：CA=CB=CC₁=2，∠ACB=90°
∴BC⊥AC
∴BC⊥平面A₁C₁CA
∴點B到平面A₁C₁CA的距離為2（3分）
（2）如圖建立空間直角坐標系
則B（0，2，0）D（0，0，1）A₁（2，0，2）

A1D

=（-2，0，-1），

A1B

=（-2，2，-2），
設平面A₁DB的法向量為

n1

(1，x，y)
則

-2-y=0 -2+2x-2y=0

即

y=-2 x=-1

∴

n1

=(1，-1，-2)（6分）
而平面ACC₁A₁的法向量為

n2

(0，1，0)
cos＜

n1

，

n2

＞=

6

6

∴二面角B-A₁D-A的大小為arccos

6

6

（8分）
（3）存在F為AC的中點，使EF⊥平面A₁BD
設F（x，0，0），由E（0，1，2）得

EF

=(x，-1，-2)若EF⊥平面A₁BD，則

EF

∥

n1

由

n1

=(1，-1，-2)得x=1
∴F為AC的中點
∴存在F為AC的中點，使EF⊥平面A₁BD（12分）

點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，由三視圖還原實物圖，及空間點到平面距離的運算，（1）的關鍵是證得BC⊥平面A₁C₁CA，（2）的關鍵是建立空間坐標系，將二面角問題轉化為向量夾角，（3）的關鍵是根據(jù)已知條件構造關于x的方程．