Question

已知函數(shù)f（x）=-x（x-a），x∈[a，1]
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，-1]上是單調函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，-1]上的最大值g（a）．

Answer 1

分析：（1）欲使函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，-1]上是單調函數(shù)，只須二次函數(shù)的對稱軸在區(qū)間[a，-1]的外側，從而列出不等關系即可求a的取值范圍；
（2）欲求函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，-1]上的最大值，下面對對稱軸與所給區(qū)間的位置關系進行討論，對每一種情況求出相應的最大值，再綜合結果寫出答案即可．

解答：解：（1）對稱軸為x=

a

2

＜

1

2

，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，1]上是單調函數(shù)，
∴

a

2

≤a，即a＞0．（4分）
（2）a＜1，
①當

a

2

＜a，即a＞0時，g（a）=f（a）=0，
②當a≤

a

2

≤1，即a≤0時，g（a）=f(

a

2

)=

a2

4

．
綜上：g(a)=

0，a＞0 a2 4 ，a≤0

（12分）

點評：本小題主要考查函數(shù)單調性的應用、二次函數(shù)的性質、函數(shù)的最值及其幾何意義等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想、分類討論思想．屬于基礎題．