Question

有紅色和黑色兩個盒子，紅色盒中有6張卡片，其中一張標有數(shù)字0，兩張標有數(shù)字1，三張標有數(shù)字2；黑色盒中有7張卡片，其中4張標有數(shù)字0，一張標有數(shù)字1，兩張標有數(shù)字2．現(xiàn)從紅色盒中任意取1張卡片（每張卡片被抽出的可能性相等），黑色盒中任意取2張卡片（每張卡片抽出的可能性相等），共取3張卡片．
（Ⅰ）求取出的3張卡片都標有數(shù)字0的概率；
（Ⅱ）求取出的3張卡片數(shù)字之積是4的概率；
（Ⅲ）記ξ為取出的3張卡片的數(shù)字之積，求ξ的概率分布及數(shù)學期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）本題為古典概型，總的取法有C₆¹C₇²種，3張卡片都標有數(shù)字0的取法有C₄²種，相除即可．
（2）取出的3張卡片數(shù)字之積是4的結果有：
紅盒中取2、黑盒中取2和1，紅盒中取1、黑盒中取2和2，取法共有C₂¹C₂²+C₃¹C₁¹C₂¹種，再利用古典概型求解即可．
（3）ξ的可能取值為0，2，4，8，可先求ξ為2，4，8使得概率，ξ=0的概率用分布列的性質(zhì)求解．

解答：解：（I）記“取出的3張卡片都標有數(shù)字0”為事件A．
P(A)=

C 1 1 • C 2 4

C 1 6 • C 2 7

=

1

21

；
（Ⅱ）記“取出的3張卡片數(shù)字之積是4”為事件B．
P(B)=

C 1 2 • C 2 2 + C 1 3 • C 1 1 • C 1 2

C 1 6 • C 2 7

=

4

63

；

（Ⅲ）ξ的可能取值為0，2，4，8
P(ξ=0)=1-

C 1 5 • C 2 3

C 1 6 • C 2 7

=1-

15

6×21

=

37

42

，
P(ξ=2)=

C 1 2 • C 1 2 • C 1 1

C 1 6 • C 2 7

=

2

63

；
P(ξ=8)=

C 1 3 • C 2 2

C 1 6 • C 2 7

=

1

42

；
ξ的概率分布列為：

Eξ=0×

37

42

+2×

2

63

+4×

4

63

+8×

1

42

=

32

63

．

點評：本題考查古典概型、李酸性隨機變量的分布列和期望等知識，同時考查抽象概括能力和運用所學知識分析問題解決問題的能力．