Question

已知曲線C上任意一點M到點F（0，1）的距離比它到直線l：y=-2的距離小1．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）過點P（2，2）的直線m與曲線C交于A，B兩點，設

AP

=λ

PB

①當λ=1時，求直線m的方程；
②當△AOB的面積為4

2

時（O為坐標原點），求直線m的斜率．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線定義，可之所求曲線為拋物線，即可求出方程，
（2）①當λ=1時，點P是弦AB的中點，由中點坐標公式很容易求出．
（3）②△AOB的面積為4

2

時，把面積用含直線斜率的式子表示，再根據已知，得到關于斜率k的一元二次方程，解方程即得．

解答：解：（Ⅰ）∵點M到F（1，0）的距離比它到直線l：y=-2的距離小于1
∴點M在直線l的上方，點M到F（1，0）的距離與它到直線l'：y=-1的距離相等
∴點M的軌跡C是以F為焦點，l'為準線的拋物線，所以曲線C的方程為x²=4y
（Ⅱ））當直線m的斜率不存在時，它與曲線C只有一個交點，不合題意，設直線m的方程為y-2=k（x-2），
即y=kx+（2-2k），代入x²=4y得x²-4kx+8（k-1）=0△=16（k²-2k+2）＞0對k∈R恒成立，
所以直線m與曲線C恒有兩個不同的交點
設交點A，B的坐標分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則x₁+x₂=4k，x₁x₂=8（k-1
①由

AP

=λ

PB

，且λ=1得點P是弦AB的中點，
∴x₁+x₂=4，則=4，得k=1∴直線m的方程是x-y=0
②∵|AB|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

(1+k2)[(x2+x1)2-4x1x2]

=4

(1+k2)(k2-2k+2)

，
點O到直線m的距離d=

|2-2k|

1+k2

，
∴S△ABO=

1

2

|AB|•d=4|k-1|

k2-2k+2

=4

(k-1)4+(k-1)2

∵S△ABO=4

2

，
∴4

(k-1)4+(k-1)2

=4

2

，
∴（k-1）⁴+（k-1）²-2=0，（k-1）²=1或（k-1）²=-2（舍去）
∴k=0或k=2．

點評：本題考查了直線與拋物線的位置關系，且用到了向量知識，綜合性強，做題時認真分析，找到銜接點．