Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以點(diǎn)P為圓心的圓與圓x²+y²-2y=0外切且與x軸相切（兩切點(diǎn)不重合）．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）若直線mx-y+2m+5=0（m∈R）與點(diǎn)P的軌跡交于A、B兩點(diǎn)，問：當(dāng)m變化時(shí)，以線段AB為直徑的圓是否會(huì)經(jīng)過定點(diǎn)？若會(huì)，求出此定點(diǎn)；若不會(huì)，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）根據(jù)以點(diǎn)P為圓心的圓與圓x²+y²-2y=0外切且與x軸相切，建立方程，化簡可求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）將y=mx+2m+5代入x²=4y得x²-4mx-8m-20=0，利用以線段AB為直徑的圓的方程為x²+y²-（x₁+x₂）x+x₁x₂-（y₁+y₂）y+y₁y₂=0，結(jié)合韋達(dá)定理，可得關(guān)于m的方程4m²（1-y）+4m（3-x-y）+x²+y²-10y+5=0，利用關(guān)于m的方程有無數(shù)解，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)P（x，y），由題意知y＞0且

x2+(y-1)2

=y+1，得x²=4y
故所求點(diǎn)P的軌跡方程為x²=4y（y＞0）…（5分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
將y=mx+2m+5代入x²=4y得x²-4mx-8m-20=0
∴x₁+x₂=4m，x₁x₂=-8m-20…（7分）
而以線段AB為直徑的圓的方程為x²+y²-（x₁+x₂）x+x₁x₂-（y₁+y₂）y+y₁y₂=0，
即x2+y2-(x1+x2)x+x1x2-

1

4

[(x1+x2)2-2x1x2]y+

x 2 1 x 2 2

16

=0，
得x²+y²-4mx-（4m²+4m+10）y+4m²+12m+5=0，…（10分）
整理成關(guān)于m的方程4m²（1-y）+4m（3-x-y）+x²+y²-10y+5=0
由于以上關(guān)于m的方程有無數(shù)解，故1-y=0且3-x-y=0且x²+y²-10y+5=0，
由以上方程構(gòu)成的方程組有唯一解x=2，y=1．
由此可知，以線段AB為直徑的圓必經(jīng)過定點(diǎn)（2，1）．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查軌跡方程的求解，考查恒過定點(diǎn)問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．