(本題滿分14分)

已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標(biāo)原點(diǎn),且兩條漸近線與以點(diǎn)為圓心,1為半徑為圓相切,又知C的一個(gè)焦點(diǎn)與A關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

(1)求雙曲線C的方程;

(2)若Q是雙曲線C上的任一點(diǎn),F(xiàn)1、F2為雙曲線C的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),從F1引∠F1QF2的平分線的垂線,垂足為N,試求點(diǎn)N的軌跡方程.

(3)設(shè)直線y=mx+1與雙曲線C的左支交于A、B兩點(diǎn),另一直線L經(jīng)過M(-2,0)及AB的中點(diǎn),求直線L在y軸上的截距b的取值范圍.

(本小題滿分14分)

解:(1)設(shè)雙曲線C的漸近線方程為y=kx,即kx-y=0

∵該直線與圓 相切,

∴雙曲線C的兩條漸近線方程為  ……………………………………………2分

故設(shè)雙曲線C的方程為,又∵雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)為

,∴雙曲線C的方程為  ……………………………4分

(2)若Q在雙曲線的右支上,則延長QF2到T,使|QT|=|OF1|

若Q在雙曲線的左支上,則在QF2上取一點(diǎn)T,使|QT|=|QF1

根據(jù)雙曲線的定義|TF2|=2,所以點(diǎn)T在以F2為圓心,2為半徑的圓上,即點(diǎn)T的軌跡

方程是  ① ………………………………………6分

由于點(diǎn)N是線段F1T的中點(diǎn),設(shè)N(x,y),T(

 

代入①并整理得點(diǎn)N的軌跡方程為  …………………8分

(3)由 

直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn),等價(jià)于方程 上有兩個(gè)不等實(shí)根.

因此  ……………………………………………10分

又AB中點(diǎn)為

∴直線L的方程為  ……………………………………12分

x=0,得

  ∴ 

∴故b的取值范圍是   …………………………………………14

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(本題滿分14分
A.選修4-4:極坐標(biāo)與參數(shù)方程在極坐標(biāo)系中,直線l 的極坐標(biāo)方程為θ=
π
3
(ρ∈R ),以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,曲線C的參數(shù)方程為
x=2cosα
y=1+cos2α
(α 參數(shù)).求直線l 和曲線C的交點(diǎn)P的直角坐標(biāo).
B.選修4-5:不等式選講
設(shè)實(shí)數(shù)x,y,z 滿足x+y+2z=6,求x2+y2+z2 的最小值,并求此時(shí)x,y,z 的值.

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(本題滿分14分)如圖,四邊形ABCD為矩形,AD⊥平面ABE,AEEBBC=2,上的點(diǎn),且BF⊥平面ACE

(1)求證:AEBE;(2)求三棱錐DAEC的體積;(3)設(shè)M在線段AB上,且滿足AM=2MB,試在線段CE上確定一點(diǎn)N,使得MN∥平面DAE.

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(本題滿分14分)已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈R},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}

(Ⅰ)若AB=[0,3],求實(shí)數(shù)m的值

(Ⅱ)若ACRB,求實(shí)數(shù)m的取值范圍

 

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(本題滿分14分)

已知點(diǎn)是⊙上的任意一點(diǎn),過垂直軸于,動(dòng)點(diǎn)滿足。

(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程; 

(2)已知點(diǎn),在動(dòng)點(diǎn)的軌跡上是否存在兩個(gè)不重合的兩點(diǎn)、,使 (O是坐標(biāo)原點(diǎn)),若存在,求出直線的方程,若不存在,請(qǐng)說明理由。

 

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(本題滿分14分)已知函數(shù).

(1)求函數(shù)的定義域;

(2)判斷的奇偶性;

(3)方程是否有根?如果有根,請(qǐng)求出一個(gè)長度為的區(qū)間,使

;如果沒有,請(qǐng)說明理由?(注:區(qū)間的長度為).

 

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