Question

如圖，已知橢圓C:的左、右焦點為，其上頂點為.已知是邊長為的正三角形.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點任作一動直線交橢圓C于兩點，記若在線段上取一點使得，試判斷當直線運動時，點是否在某一定直線上運動？若在請求出該定直線，若不在請說明理由.

 

 

Answer 1

（1）；（2）點R在定直線上．

【解析】

試題分析：（1）由△F1AF2是邊長為2的正三角形，可得c=1，a=2，從而可求b，即可得到橢圓C的方程；

（2）設(shè)直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理，由，確定λ的值，由，可得R的橫坐標為定值，即可得到結(jié)論．

試題解析：（1）是邊長為的正三角形，則， 1分

故橢圓C的方程為. 3分

(2)直線MN的斜率必存在，設(shè)其直線方程為,并設(shè).

聯(lián)立方程，消去得，則

4分

由得，故. 5分

設(shè)點R的坐標為，則由得，解得

. 8分

又，

，從而，故點R在定直線上. 10分

 

考點：１．橢圓方程；２．直線與橢圓的位置關(guān)系;3. 向量知識的運用．