Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA1=2，D是棱AA1的中點．
（Ⅰ）求證：B1C1∥平面BCD；
（Ⅱ）求三棱錐B﹣C1CD的體積；
（Ⅲ）在線段BD上是否存在點Q，使得CQ⊥BC1？請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：∵ABC﹣A1B1C1為棱柱，則B1C1∥BC， ∵B1C1平面BCD，BC平面BCD，則B1C1∥平面BCD；
（Ⅱ）解：∵D為棱AA1的中點，∴ ，
∵AA1⊥底面ABC，∴BC⊥AA1 ， 又BC⊥AC，且AC∩AA1=A，
∴BC⊥平面CDC1 ，
∴ = ；
（Ⅲ）解：線段BD上存在點Q（ ），使得CQ⊥BC1 ．
事實上，以C為原點，分別以CA、CB、CC1所在直線為x、y、z軸距離空間直角坐標(biāo)系，
則C（0，0，0），B（0，1，0），C1（0，0，2），D（1，0，1），
假設(shè)在線段BD上存在點Q，使得CQ⊥BC1 ， 設(shè)Q（x，y，z），
再設(shè) ，則（x，y﹣1，z）=λ（1，﹣1，1），得x=λ，y=1﹣λ，z=λ，
則Q（λ，1﹣λ，λ），
∴ =（λ，1﹣λ，λ）， ，
由 ，得 ．
∴線段BD上存在點Q（ ），使得CQ⊥BC1 ．

【解析】（Ⅰ）由ABC﹣A1B1C1為棱柱，可得B1C1∥BC，再由線面平行的判定可得B1C1∥平面BCD；（Ⅱ）由D為棱AA1的中點求出三角形CC1D，再證明BC⊥平面CDC1 ， 即可求得三棱錐B﹣C1CD的體積；（Ⅲ）以C為原點，分別以CA、CB、CC1所在直線為x、y、z軸距離空間直角坐標(biāo)系，求出所用點的坐標(biāo)，假設(shè)在線段BD上存在點Q，使得CQ⊥BC1 ， 求出Q的坐標(biāo)，由數(shù)量積為0得答案．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．