Question

已知函數(shù)f（x）=lnx．
（1）求f（x）的反函數(shù)g（x）；
（2）求f（x）的圖象上點(diǎn)（1，0）處的切線方程；
（3）證明：函數(shù)G（x）=g（x）-

1

2

x²-x-1只有一個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)同底的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，求g（x）．
（2）利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程．
（3）利用函數(shù)零點(diǎn)的定義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性證明函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)．

解答：解：（1）因?yàn)閒（x）=lnx，x＞0，
所以f（x）的反函數(shù)g（x）=e^x，x∈R．
（2）設(shè)所求切線的斜率為k，
∵f'（x）=

1

x

，∴f（x）的圖象上點(diǎn)（1，0）處的切線斜率k=f'（1）=1，
于是在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為：y=x-1．
（3）G（x）=g（x）-

1

2

x²-x-1=e^x-

1

2

x²-x-1，
∵G（0）=1-1=0，
∴G（x）存在零點(diǎn)x=0．
又G'（x）=e^x-x-1，令h（x）=G'（x）=e^x-x-1，則h'（x）=e^x-1，
當(dāng)x＜0時(shí)，h'（x）＜，即G'（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減．
當(dāng)x＞0時(shí)，h'（x）＞0，即G'（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增．
∴G'（x）在x=0有唯一的極小值G'（0）=0．即G'（x）在R上的最小值為G'（0）=0．
∴G'（x）≥0（僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立），
即G'（x）在R上單調(diào)遞增函數(shù)．
∴G'（x）在R上只有一個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查反函數(shù)的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和判斷零點(diǎn)問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．