Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0處取得極值
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=-

5

2

x+b在區(qū)間[0，2]上有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令f′（x）=0，即可求得a值；
（2）f（x）=-

5

2

x+b在區(qū)間[0，2]上有兩個(gè)不同的實(shí)根，即b=ln（x+1）-x²+

3

2

x在區(qū)間[0，2]上有兩個(gè)不同的實(shí)根，
問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)g（x）=ln（x+1）-x²+

3

2

x在[0，2]上最值和極值情況．利用導(dǎo)數(shù)可以求得，再借助圖象可得b的范圍．

解答：解：（1）f′（x）=

1

x+a

-2x-1，
∵f′（0）=0，∴a=1．
（2）f（x）=ln（x+1）-x²-x
所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為b=ln（x+1）-x²+

3

2

x在[0，2]上有兩個(gè)不同的解，
從而可研究函數(shù)g（x）=ln（x+1）-x²+

3

2

x在[0，2]上最值和極值情況．
∵g′（x）=-

(4x+5)(x-1)

2(x+1)

，
∴g（x）的增區(qū)間為[0，1]，減區(qū)間為[1，2]．
∴g_max（x）=g（1）=

1

2

+ln2，g_min（x）=g（0）=0，
又g（2）=-1+ln3，
∴當(dāng)b∈[-1+ln3，

1

2

+ln2）時(shí)，方程有兩個(gè)不同解．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件及方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，注意函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．