Question

（本小題滿分14分）
已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的最小值；
（2）證明：對任意恒成立；
（3）對于函數(shù)圖象上的不同兩點(diǎn)，如果在函數(shù)圖象上存在點(diǎn)（其中）使得點(diǎn)處的切線，則稱直線存在“伴侶切線”．特別地，當(dāng)時(shí)，又稱直線存在 “中值伴侶切線”．試問：當(dāng)時(shí)，對于函數(shù)圖象上不同兩點(diǎn)、，直線是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）  ；（2）見解析；（3）函數(shù)f(x)不存在“中值伴侶切線”

第一問中 


第二問
令，
結(jié)合導(dǎo)數(shù)來判定。
第三問中，當(dāng)時(shí)，，，假設(shè)函數(shù)存在“中值伴侶切線”. 
設(shè),是曲線上的不同兩點(diǎn)，且
則，. 故直線AB的斜率：


曲線在點(diǎn)處的切線斜率：
=
依題意可得。
解：（1） …………1分

  ……………………………………2分
      ……………………………4分
（2）
令，………………6分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823215226450358.png" style="vertical-align:middle;" />,顯然，所以在上遞增,
顯然有恒成立.（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號成立），即證．     ………8分
（3）當(dāng)時(shí)，，，假設(shè)函數(shù)存在“中值伴侶切線”. 
設(shè),是曲線上的不同兩點(diǎn)，且
則，. 故直線AB的斜率：

 …………………………………………………………10分
曲線在點(diǎn)處的切線斜率：
=…………………………………………11分
依題意得：
化簡可得：， 即=. …………12分 
設(shè) ()，上式化為,由（2）知時(shí)，恒成立.
所以在內(nèi)不存在t,使得成立.
綜上所述，假設(shè)不成立.所以，函數(shù)f(x)不存在“中值伴侶切線”   ………………14分