Question

（2010•孝感模擬）設（1+x+y）^x的展開式的不含x項的系數和為a_x，則

lim

x→∞

(

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

)=

1

．

Answer 1

分析：根據二項式定理，可得（1+x+y）^x的展開式，分析可得其中不含x的項為（1+y）^x，令y=1，可得a_x=2^x，進而分析可得

1

ax

=（

1

2

）^x，則{

1

ax

}是以

1

2

為首項，

1

2

為公比的等比數列，由等比數列的前n和公式可得

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

的值，由極限的計算公式，計算可得答案．

解答：解：（1+x+y）^x=[（1+y）+x]^x，其展開式的通項為T_r+1=C_x^r•（1+y）^x-r•x^r，
不含x的項為（1+y）^x，令y=1，可得不含x項的系數和為2^x，即a_x=2^x，
則

1

ax

=（

1

2

）^x，則{

1

ax

}是以

1

2

為首項，

1

2

為公比的等比數列，
則

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

1 2 (1- 1 2 n)

1- 1 2

=（1-

1

2

ⁿ），
則

lim

x→∞

(

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

)=

lim

x→∞

（1-

1

2

ⁿ）=1；
故答案為1．

點評：本題考查二項式定理的應用，關鍵是由二項式定理求出a_x的值，并結合等比數列的前n和公式和極限的計算方法，進行計算．