Question

如圖，已知等腰△ABC的底邊BC=3，頂角為120°，D是BC邊上一點(diǎn)，且BD=1．把△ADC沿AD折起，使得平面CAD⊥平面ABD，連接BC形成三棱錐C-ABD．
（Ⅰ） ①求證：AC⊥平面ABD；②求三棱錐C-ABD的體積；
（Ⅱ） 求AC與平面BCD所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）①由已知中等腰△ABC的底邊BC=3，頂角為120°，BD=1，我們易根據(jù)勾股定理得到AC⊥AD，再由平面ADC⊥平面ABD，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)，即可得到AC⊥平面ABD；②根據(jù)①的結(jié)論，計算出三棱錐C-ABD的底面面積和高，代入棱錐體積公式，即可得到答案．
（II）在作等腰△ABC底邊上的高線AE，點(diǎn)E為垂足，連接CE，作AH⊥CE于點(diǎn)H，則∠ACH是直線AC與平面BCD所成的角，解三角形ACH即可得到AC與平面BCD所成的角的正弦值．
解答：解：（Ⅰ）①由已知得，∠B=∠C=30°，．
在△ABD中，由BD=1，得AD==1，（3分）
在△ACD中，∵AC²+AD²=4=CD²，∴AC⊥AD．
平面ADC⊥平面ABD，∴AC⊥平面ABD．（5分）
②∵AC⊥平面ABD，∴V_C-ABD==．（8分）
（Ⅱ）由BD=1，得CD=2，
在平面內(nèi)作等腰△ABC底邊上的高線AE，點(diǎn)E為垂足，則AE=．
在三棱錐C-ABD中，連接CE，作AH⊥CE于點(diǎn)H，
∵BD⊥AC，BD⊥AE，∴BD⊥平面ACE，
∵AH?平面ACE，∴BD⊥AH，∴AH⊥平面BCD，
∴∠ACH是直線AC與平面BCD所成的角．（11分）
在Rt△ACE中，得，=，
∴，即直線AC與平面BCE所成的角的正弦值為．（14分）
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面所成的角，棱錐的體積，直線與平面垂直的判定，（I）的關(guān)鍵是根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到線面垂直，（2）的關(guān)鍵是找出直線與平面夾角的平面角．