Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．以BD的中點O為球心、BD為直徑的球面交PD于點M．
（1）求證：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直線PC與平面ABM所成的角的正弦值；
（3）求點O到平面ABM的距離．

Answer 1

分析：（1）利用線面、面面垂直的判定定理、性質(zhì)定理即可證明；
（2）通過建立空間直角坐標(biāo)系，先求出平面ABM的法向量，進而即可求出線面角；
（3）利用平面的法向量和斜向量的夾角即可求出．

解答：解：（1）證明：由題意，M在以BD為直徑的球面上，則BM⊥PD，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，
又∵AB⊥AD，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD，
∵BM∩AB=B，
∴PD⊥平面ABM，又PD?平面PCD，
∴平面ABM⊥平面PCD．
（2）由（1）可知：PD⊥平面ABM，∴PD⊥AM，又在Rt△PAD，PA=AD，∴PM=MD．
如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2），
由（1）可知：

PD

是平面ABM的一個法向量

PD

=（0，4，-4），
又

PC

=（2，4，-4），
設(shè)PC與平面ABM所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜

PD

，

PC

＞|=

| PD • PC |

| PD | | PC |

=

32

32 × 36

=

2 2

3

．
（3）設(shè)所求距離為d，由O(1，2，0)，

AO

=(1，2，0)，
∴d=

| PD • AO |

| PD |

=

8

42+42

=

2

．

點評：熟練掌握線面、面面垂直的判定定理、性質(zhì)定理及通過建立空間直角坐標(biāo)系利用平面的法向量與斜向量求出線面角、點到平面的距離是解題的關(guān)鍵..