Question

已知 

a

=（1，cosx），

b

=（sin2x，2cosx），且f（x）=

a

•

b

-1
（1）求函數(shù)y=f（x），x∈[0，π]的單調(diào)增區(qū)間；
（2）三角形ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，若b=

2

，c=1且f（A）=1，求a的值．

Answer 1

分析：（1）易求f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），當(dāng)x∈[0，π]時，2x+

π

4

∈[

π

4

，

9π

4

]，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得函數(shù)y=f（x）在x∈[0，π]的單調(diào)增區(qū)間；
（2）△ABC中，由f（A）=

2

sin（2A+

π

4

）=1，可求得A=

π

4

，利用余弦定理即可求得a的值．

解答：解：（1）∵f（x）=

a

•

b

-1
=sin2x+1+cos2x-1
=

2

sin（2x+

π

4

），
∵x∈[0，π]，
∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

9π

4

]，
由

π

4

≤2x+

π

4

≤

π

2

與

3π

2

≤2x+

π

4

≤

9π

4

得0≤x≤

π

8

或

5π

8

≤x≤π，
當(dāng)x∈[0，π]時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[0，

π

8

]和[

5π

8

，π]；
（2）∵f（A）=

2

sin（2A+

π

4

）=1，
∴sin（2A+

π

4

）=

2

2

，又三角形ABC中，A∈（0，π），
∴2A+

π

4

=

3π

4

，解得A=

π

4

，
又b=

2

，c=1，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=2+1-2

2

×

2

2

=1，
∴a=1．

點評：本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查數(shù)量積的坐標(biāo)于是與余弦定理，屬于中檔題．