Question

18．已知函數(shù)$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{3}）+1$
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期、最值．
（Ⅱ）若對(duì)任意的x₁，x₂∈[0，$\frac{π}{2}$]，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜m，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）代入周期公式計(jì)算周期，令sin（2x-$\frac{π}{3}$）=±1計(jì)算最值；
（II）求出f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最值，則m＞f_max（x）-f_min（x）．

解答 解：（I）f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，
當(dāng)sin（2x-$\frac{π}{3}$）=-1時(shí)，f（x）取的最小值為-1．
當(dāng)sin（2x-$\frac{π}{3}$）=1時(shí)，f（x）取的最大值為3．
（II）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴當(dāng)2x-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{3}$時(shí)，f（x）取得最小值f_min（x）=-$\sqrt{3}+1$，
當(dāng)2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）取得最大值f_max（x）=3．
∵對(duì)任意的x₁，x₂∈[0，$\frac{π}{2}$]，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜m，
∴m＞3-（-$\sqrt{3}+1$）=2+$\sqrt{3}$．
即m的取值范圍是（2+$\sqrt{3}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．