Question

如圖，已知三棱臺ABC-A₁B₁C₁，等邊三角形AB₁C所在的平面與底面ABC垂直，且∠ACB=90°，設(shè)AC=2a，BC=a．
（1）求點A到面B₁BCC₁的距離；
（2）求二面角A-B₁B-C的余弦值；
（3）設(shè)

AM

=

2

5

AB

，|MA₁|=x，|CC₁|=y，試將y表示為x的函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由題意因為面AB₁C⊥面ABC，所以B₁D⊥ABC，利用三棱錐的體積可以進行定點進行輪換的方法求解點到面的距離；
（2）由題意過D作DE∥BC，以D為原點，DE、DC、DB₁所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，建立空間直角坐標系，先設(shè)出兩個半平面的法向量的坐標，并利用法向量的定義解出坐標，在利用平面法向量的夾角求出二面角；
（3）設(shè)B₁C₁=m，則A₁C₁=2m，有上兩問寫出一些點的坐標，利用兩點間的距離公式求出兩點間的距離．

解答：解：（1）作B₁D⊥AC，垂足為D，因為面AB₁C⊥面ABC，
所以B₁D⊥ABC，因為∠ACB=90^o所以BC⊥AB₁C．設(shè)A到面B₁BCC₁的距離為h，由VB1-ABC=VA-B1BC，
即

1

3

×

1

2

×AC×BC×B1D=

1

3

×

1

2

×BC×B1C×h，解得h=

3

a．
（2）過D作DE∥BC，以D為原點，DE、DC、DB₁所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則A（0，-a，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、B1(0，0，

3

a)，設(shè)平面AB₁B的一個法向量為

n1

=(p，q，r)，則

n1 • AB =ap+2aq=0 n1 • AB1 =2q+ 3 ar=0

，取r=1得

n1

=(2

3

，-

3

，1)，同理，平面B₁BC的一個法向量

n2

=(0，

3

，1)，
所以二面角A-B₁B-C的余弦值為cosθ=

| n1 • n2 |

| n1 || n2 |

=

1

4

．
（3）設(shè)B₁C₁=m，則A₁C₁=2m，A1(-m，-2m，

3

a)，C1(-m，0，

3

a)，由

AM

=

2

5

AB

得M(

2

5

a，-

1

5

a，0)，根據(jù)空間兩點的距離公式，x=

16 5 a2+5m2

，y=

m2+4a2

，
所以y=

x2 5 + 84a2 25

．

點評：（1）是等體積法求點到平面的距離；（2）是在一個非長方體中建立空間直角坐標系求二面角的余弦值；（3）是確定一些空間點的坐標，求空間兩點的距離．