Question

3．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且sin²B-sin²A=sin²C-sinAsinC．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若△ABC的面積為$\sqrt{3}$，求a+c取得最小值時b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用正弦定理化角為邊，再由余弦定理可得角B；
（Ⅱ）由三角形面積公式可得ab=4，由余弦定理，基本不等式即可得解b的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）由正弦定理可得，sin²A+sin²C-sinAsinC=sin²B即為a²+c²-ac=b²，
由余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
由0＜B＜π，
則B=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由已知S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac=$\sqrt{3}$，所以ac=4，…（8分）
可得：a+c≥2$\sqrt{ac}$=4，即a+c的最小值為4，當且僅當a=c=2時等號成立，
此時，由余弦定理b²=a²+c²-2accosB=2²+2²-2×$2×2×\frac{1}{2}$=4，…（10分）
∴b=2．…（12分）

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理及基本不等式在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．