Question

已知△ABC的三個頂點均在橢圓4x²+5y²=80上，且點A在y軸的正半軸上．
（Ⅰ）若△ABC的重心是橢圓的右焦點F₂，試求直線BC的方程；
（Ⅱ）若∠A=90°，試證直線BC恒過定點．

Answer 1

解：（Ⅰ）設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
整理橢圓方程得 =1，∴短軸b=4，a=2
∴c==2，
則A（0，4 ），F₁（2，0）
∴=2，x₁+x₂=6
同理y₁+y₂=-4
又，，
兩式相減可得4（x₁+x₂）+5（y₁+y₂）×k=0，
∴k=（k為BC斜率）
令BC直線為：y=x+b，則y₁+y₂=（x₁+x₂）+2b
∴b=-
∴BC直線方程為：y=x-
即5y-6x+28=0．…（7分）
（Ⅱ）由AB⊥AC，得=x₁x₂+y₁y₂-4（y₁+y₂）+16=0 （1）
設直線BC方程為y=kx+b代入4x²+5y²=80，得（4+5k²）x²+10bkx+5b²-80=0
∴，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2b=，y₁y₂=
代入（1）式得，，
解得b=4（舍）或
故直線BC過定點（0，）．
分析：（Ⅰ）設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）進而根據橢圓方程求得b和c，進而可求得A，F₁的坐標，根據三角形的重心的性質可分別求得x₁+x₂和y₁+y₂，把B，C點代入橢圓方程后兩式相減，進而求得直線BC的斜率，設出直線BC的方程，把B，C點坐標代入兩式相加求得b，則直線BC方程可得．
（Ⅱ）由AB⊥AC，得=x₁x₂+y₁y₂-4（y₁+y₂）+16=0（1）．設直線BC方程為y=kx+b代入4x²+5y²=80，利用韋達定理結合（1）式，即可得直線BC過定點．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等，突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法．