Question

19．已知點(diǎn)A，B，C在球O的表面上且A=$\frac{π}{3}$，b=1，c=3．三菱錐O-ABC的體積為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則球O的表面積為（　�。�

• A． 16π
• B． 32π
• C． 20π
• D． 5π

Answer 1

分析 利用解三角形得出截面圓的半徑r，利用d²+r²=R²，求解R，計算球的表面積．

解答 解：在△ABC中，由a²=b²+c²-2bccosA得a=$\sqrt{7}$
設(shè)△ABC的外接圓的圓心為r，則2r=$\frac{\sqrt{7}}{sin\frac{π}{3}}$，即r=$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$
∵三菱錐O-ABC的體積為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×1×sin\frac{π}{3}$×h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴O到平面ABC的距離h=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$
∴球O的半徑為R=$\sqrt{{h}^{2}+{r}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∴則球O的表面積為4πR²=20π
故選：C

點(diǎn)評 本題綜合考察了學(xué)生的空間思維能力，空間幾何體性質(zhì)，利用平面問題解決空間幾何問題，屬于中檔題．