【題目】如圖，正四面體A﹣BCD的棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)E、F分別是棱BD、BC的中點(diǎn)，則平面AEF截該正四面體的內(nèi)切球所得截面的面積為_____.

【答案】

【解析】

設(shè)圓心為P，內(nèi)切球的球心為O,內(nèi)切球的半徑為r，作平面,則為底面三角形的中心,由OP⊥AM，可得,,利用相似比求出,利用四面體中的幾何關(guān)系求出r，再由截面圓的性質(zhì)可知,所求截面圓的半徑求解即可.

作圖如下:

根據(jù)題意知,平面AEF截該正四面體的內(nèi)切球所得截面一定是圓，

設(shè)圓心為P，內(nèi)切球的球心為O，

作平面,則為底面三角形的中心,

在等邊三角形中,,

在中,由勾股定理知,

,

由圖可知,為四面體外接球的半徑,設(shè),

在中,由勾股定理可得,

,解得，

所以正四面體A﹣BCD的內(nèi)切球半徑為

,

因?yàn)?/span>OP⊥AM，,所以，

又因?yàn)?/span>，

由AM2＝NM2+AN2可得AM，

所以，即,解得OP，

∴平面AEF截該正四面體的內(nèi)切球所得截面圓半徑r1，

平面AEF截該正四面體的內(nèi)切球所得截面的面積為，

故答案為:

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（2）若該市政府看望使85%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)（噸），估計(jì)的值，并說(shuō)明理由。

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