Question

在圖（1）所示的長(zhǎng)方形ABCD中，AD=2AB=2，E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，M、N兩點(diǎn)分別在AF和CE上運(yùn)動(dòng)，且AM=EN=a．把長(zhǎng)方形ABCD沿EF折成大小為θ的二面角A-EF-C，如圖（2）所示，其中
（1）當(dāng)θ=45°時(shí)，求三棱柱BCF-ADE的體積；
（2）求證：不論θ怎么變化，直線MN總與平面BCF平行；
（3）當(dāng)θ=90且．時(shí)，求異面直線MN與AC所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用已知條件即可得到EF⊥平面ADE，∠DEA=θ．再利用三棱柱的體積計(jì)算公式即可得出；
（2）證法一：過點(diǎn)M作MM₁⊥BF交BF于M₁，過點(diǎn)N作NN₁⊥CF交BF于N₁，連接M₁N₁，可證明四邊形MNN₁M₁為平行四邊形，再利用線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；
證法二：點(diǎn)M作MG⊥EF交EF于G，可證平面MNG∥平面BCF，利用面面平行的性質(zhì)定理即可證明；
（3）證法一：取CF的中點(diǎn)為Q，連接MQ、NQ，則MQ∥AC，得∠NMQ或其補(bǔ)角為異面直線MN與AC所成的角，利用余弦定理求出即可；
證法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩條異面直線的方向向量的夾角即可得出．
解答：解：（1）依題意得EF⊥DE，EF⊥AE，∴EF⊥平面ADE，∠DEA=θ．
由θ=45°得，，
∴．
（2）證法一：過點(diǎn)M作MM₁⊥BF交BF于M₁，
過點(diǎn)N作NN₁⊥CF交BF于N₁，連接M₁N₁，
∵M(jìn)M₁∥AB，NN₁∥EF∴MM₁∥NN₁
又∵，∴MM₁=NN₁
∴四邊形MNN₁M₁為平行四邊形，
∴MN∥N₁M₁，又MN?面BCF，N₁M₁?面BCF，∴MN∥面BCF．
證法二：過點(diǎn)M作MG⊥EF交EF于G，連接NG，則，∴NG∥CF．
又NG?面BCF，CF?面BCF，∴NG∥面BCF，
同理可證得MG∥面BCF，又MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCF，
∵M(jìn)N?平面MNG，∴MN∥面BCF．
（3）證法一：取CF的中點(diǎn)為Q，連接MQ、NQ，則MQ∥AC，
∴∠NMQ或其補(bǔ)角為異面直線MN與AC所成的角，
∵θ=90且．∴，∴，----
∴．
即MN與AC所成角的余弦值為．
證法二：∵θ=90且．
分別以FE、FB、FC所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．，
∴，
所以與AC所成角的余弦值為．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握線面垂直的判定定理、三棱柱的體積計(jì)算公式、平行四邊形的判定和性質(zhì)定理、線面平行的判定定理、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理、異面直線所成的角的定義、余弦定理、通過建立空間直角坐標(biāo)系利用兩條異面直線的方向向量的夾角求得異面直線的夾角．