Question

【題目】選修4-5：不等式選講

已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；

（2）若，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）首先將函數(shù)的解析式寫(xiě)成分段函數(shù)形式，然后分段解出不等式的解集，再求它們的并集即可；（2）分、、，然后利用三角絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求解即可．

試題解析：（1）f(x)＝2|x－1|＋|x－2|＝

所以，f(x)在（－∞,1]上遞減，在[1，＋∞）上遞增，

又f(0)＝f()＝4，故f(x)≤4的解集為{x|0≤x≤}． …4分

（2）①若a＞1，f(x)＝(a－1)|x－1|＋|x－1|＋|x－a|≥a－1，

當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，取等號(hào)，故只需a－1≥1，得a≥2． …6分

②若a＝1，f(x)＝2|x－1|，f(1)＝0＜1，不合題意． …7分

③若0＜a＜1，f(x)＝a|x－1|＋a|x－a|＋(1－a)|x－a|≥a(1－a)，

當(dāng)且僅當(dāng)x＝a時(shí)，取等號(hào)，故只需a(1－a)≥1，這與0＜a＜1矛盾． …9分

綜上所述，a的取值范圍是[2，＋∞)． …10分

解法2

f(x)≥1f(1)＝|1－a|≥1且a＞0，解得a≥2. …6分

當(dāng)a≥2時(shí)，f(x)＝a|x－1|＋|x－a|＝

所以，f(x)在（－∞,1]上遞減，在[1，＋∞）上遞增，則f(x)≥f(1)． …8分

f(x)≥1f(1)＝a－1≥1，解得a≥2．

綜上所述，a的取值范圍是[2，＋∞)． …10分