Question

已知函數(shù)f(x)=ax2+lnx，g(x)=

1

2

x2+2ax(a∈R)．
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若f（x）＜g（x）在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)f（x）在x=1處取得極值建立方程，可確定函數(shù)及導(dǎo)函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)大于0，即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），求導(dǎo)函數(shù)，再進(jìn)行分類討論：a≥1，函數(shù)在（1，+∞）上單調(diào)增，F(xiàn)（x）＜0不恒成立；

1

2

＜a＜1，同理可得F（x）＜0不恒成立；若a≤

1

2

，函數(shù)在（1，+∞）上單調(diào)減，故只需要F（1）≤0，由此可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=2ax+

1

x

（x∈（0，+∞））
∵函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，∴f′（x）=0，∴2a+1=0，∴a=-

1

2

∴f′（x）=-x+

1

x

令f′（x）＞0，x＞0可得0＜x＜1
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1）；
（2）構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），則F′（x）=f′（x）-g′（x）=2ax+

1

x

-x-2a=

(x-1)(2ax-x-1)

x

若a≥1，則x＞1時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，函數(shù)在（1，+∞）上單調(diào)增，F(xiàn)（x）＜0不恒成立；
若

1

2

＜a＜1，則函數(shù)在（1，

1

2a-1

）上F′（x）＜0，在（

1

2a-1

，+∞）上F′（x）＞0，∴F（x）＜0不恒成立；
若a≤

1

2

，則x＞1時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，函數(shù)在（1，+∞）上單調(diào)減，故只需要F（1）≤0
∴a-

1

2

-2a≤0
∴a≥-

1

2

∴-

1

2

≤a≤

1

2

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值與單調(diào)性，考查構(gòu)造函數(shù)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．