Question

已知函數(shù)y=sin

x

2

+

3

cos

x

2

，x∈R．
（1）求該函數(shù)的周期；
（2）該函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移和伸縮變換可以得到y(tǒng)=sinx（x∈R）的圖象．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)y=sin

x

2

+

3

cos

x

2

的解析式為2sin(

x

2

+

π

3

)，由此可得函數(shù)的周期．
（2）再根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的周期性以及圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．

解答：解：（1）由于y=sin

x

2

+

3

cos

x

2

=2sin(

x

2

+

π

3

)，…（2分）
可得該函數(shù)的周期為 T=

2π

1 2

=4π．…（4分）
（2）把函數(shù)y=2sin[

1

2

（x+

2π

3

）]的圖象向右平移

2π

3

個(gè)單位可得函數(shù)y=2sin

1

2

x的圖象，再把所得函數(shù)圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的

1

2

倍，
即可得到到y(tǒng)=2sinx（x∈R）的圖象，再把這個(gè)新得的函數(shù)圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的

1

2

倍，即可得到y(tǒng)=sinx（x∈R）的圖象．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角和差的正弦公式的應(yīng)用，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的周期性以及圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．