【題目】已知函數(shù).
當時,恒成立,求的值;
若恒成立,求的最小值.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出函數(shù)的最大值,從而求出a的值即可;
(2)把f(x)≤0恒成立,轉(zhuǎn)化為lnx≤ax+b恒成立,當a≤0時顯然不滿足題意;當a>0時,要使lnx≤ax+b對任意x>0恒成立,需要直線y=ax+b與曲線y=lnx相切,設(shè)出切點坐標,把a,b用切點橫坐標表示,得到a+blnx0﹣1(x0>0),構(gòu)造函數(shù)g(x)lnx﹣1,利用導(dǎo)數(shù)求其最小值得答案.
解:(1)由,得,則.
∴.
若,則,在上遞增.
又,∴.當時,不符合題意.
② 若,則當時,,遞增;當時,,遞減.
∴當時,.
欲使恒成立,則需
記,則.
∴當時,,遞減;當時,,遞增.
∴當時,
綜上所述,滿足題意的.
(2)由(1)知,欲使恒成立,則.
而恒成立恒成立函數(shù)的圖象不在函數(shù)圖象的上方,
又需使得的值最小,則需使直線與曲線的圖象相切.
設(shè)切點為,則切線方程為,即..
∴ .
令,則.
∴當時,,遞減;當時,,遞增.
∴.
故的最小值為0.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》中有一分鹿問題:“今有大夫、不更、簪裊、上造、公士,凡五人,共獵得五鹿.欲以爵次分之,問各得幾何.”在這個問題中,大夫、不更、簪裊、上造、公士是古代五個不同爵次的官員,現(xiàn)皇帝將大夫、不更、簪梟、上造、公士這5人分成3組派去三地執(zhí)行公務(wù)(每地至少去1人),則不同的方案有( )種.
A.150B.180C.240D.300
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】近期,某學校舉行了一次體育知識競賽,并對競賽成績進行分組:成績不低于80分的學生為甲組,成績低于80分的學生為乙組.為了分析競賽成績與性別是否有關(guān),現(xiàn)隨機抽取了60名學生的成績進行分析,數(shù)據(jù)如下圖所示的列聯(lián)表.
甲組 | 乙組 | 合計 | |
男生 | 3 | ||
女生 | 13 | ||
合計 | 40 | 60 |
(1)將列聯(lián)表補充完整,判斷是否有的把握認為學生按成績分組與性別有關(guān)?
(2)如果用分層抽樣的方法從甲組和乙組中抽取6人,再從這6人中隨機抽取2人,求至少有1人在甲組的概率.
附:,.
參考數(shù)據(jù)及公式:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】隨著我國經(jīng)濟的發(fā)展,居民收入逐年增長.某地區(qū)2014年至2018年農(nóng)村居民家庭人均純收入(單位:千元)的數(shù)據(jù)如下表:
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年份代號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
人均純收入 | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
(1)求關(guān)于的線性回歸方程;
(2)利用(1)中的回歸方程,分析2014年至2018年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況,并預(yù)測2020年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入約為多少千元?
附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為,.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知為圓的直徑,點為線段上一點,且,點為圓上一點,且.點在圓所在平面上的正投影為點,.
(1)求證:;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】隨著移動互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展,與餐飲美食相關(guān)的手機應(yīng)用軟件層出不窮.現(xiàn)從使用A和B兩款訂餐軟件的商家中分別隨機抽取50個商家,對它們的“平均送達時間”進行統(tǒng)計,得到頻率分布直方圖如下:
(1)試估計使用A款訂餐軟件的50個商家的“平均送達時間”的眾數(shù)及平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表).
(2)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù),將頻率視為概率,回答下列問題:
①能否認為使用B款訂餐軟件“平均送達時間”不超過40分的商家達到75%?
②如果你要從A和B兩款訂餐軟件中選擇一款訂餐,你會選擇哪款?說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】
11分制乒乓球比賽,每贏一球得1分,當某局打成10:10平后,每球交換發(fā)球權(quán),先多得2分的一方獲勝,該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學進行單打比賽,假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5,乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4,各球的結(jié)果相互獨立.在某局雙方10:10平后,甲先發(fā)球,兩人又打了X個球該局比賽結(jié)束.
(1)求P(X=2);
(2)求事件“X=4且甲獲勝”的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心為原點,長軸在軸上,左頂點為,上、下焦點分別為,線段的中點分別為,且是斜邊長為的直角三角形.
(1)若點在橢圓上,且為銳角,求的取值范圍;
(2)過點作直線交橢圓于點,且,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某班50名學生在一次百米測試中,成績?nèi)拷橛?/span>13秒與18秒之間,將測試結(jié)果按如下方式分成五組:第一組,第二組,,第五組.下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.
(1)若成績大于或等于14秒且小于16秒認為良好,求該班在這次百米測試中成績良好的人數(shù);
(2)設(shè)m,n表示該班某兩位同學的百米測試成績,且已知求事件“”發(fā)生的概率.
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