Question

【題目】如圖，在底面是菱形的四棱錐P﹣ABCD中， E、F分別為PD、AB的中點，△PAB為等腰直角三角形，PA⊥平面ABCD，PA=1．

（1）求證：直線AE∥平面PFC；

（2）求證：PB⊥FC．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】試題分析：（1）取PC的中點M，連接EM，FM．利用三角形中位線定理可得ME平行且等于CD，又AF平行且等于CD，可得AF平行且等于EM，再利用平行四邊形的判定與性質定理可得AE∥FM，利用線面平行的判定定理即可證明AE∥平面PFC．（2）由已知利用線面垂直的性質可證PA⊥FC，利用菱形的性質，余弦定理，勾股定理可證CF⊥BF，進而可證CF⊥平面PAB，利用線面垂直的性質可證PB⊥FC．

試題解析：

（1）取PC的中點M，連接EM，F(xiàn)M．

又E點為PD的中點，∴MECD，

又AFCD，∴AFEM，

∴四邊形AFME是平行四邊形，

∴AE∥FM，又AE平面PFC，F(xiàn)M平面PFC，

∴直線AE∥平面PFC．

（2）∵△PAB為等腰直角三角形，PA⊥平面ABCD，PA=1．

∴PA⊥FC，PA⊥AB，PA=AB=1，

∵F為AB的中點，BF=，

∴在底面是菱形的四棱錐P﹣ABCD中，，可得：BC=1，CF=，

∴△BFC中，CF2+BF2=BC2，可得：CF⊥BF，

又∵PA∩BA=A，

∴CF⊥平面PAB，

∵PB平面PAB，

∴PB⊥FC．