Question

3．如圖：有一人在∠EOF=60°的V型碼頭內位于P點的一艘船上，要想到達O地上岸，現(xiàn)有三種方案：
①自P直接航行到O；
②自P與OE垂直航行到A點登陸，再由陸路乘車直達O；
③自P與OF垂直航行到B點登陸，再由陸路乘車直達O；
現(xiàn)已知陸路車速為船速的2倍，PA=2km，PB=5km，問：選擇哪種方案用時最��？并通過計算加以說明．

Answer 1

分析 設∠PAO=α，分別在△OAP和△OBP中根據(jù)正弦函數(shù)的定義表示出OP，列出方程解出tanα，從而得到OA，OB，OP的距離，設船速為V，用V表示出三種方案所用時間，表較大小得出最佳方案．

解答 解：設∠PAO=α，則∠POB=60°-α．
∴PO=$\frac{PA}{sinα}=\frac{PB}{sin（60°-α）}$，即$\frac{2}{sinα}=\frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}cosα-\frac{1}{2}sinα}$，
∴$\sqrt{3}cosα$=6sinα．
∴tanα=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴OA=$\frac{PA}{tanα}$=4$\sqrt{3}$，∴OP=$\sqrt{P{A}^{2}+O{A}^{2}}$=2$\sqrt{13}$．OB=$\sqrt{O{P}^{2}-P{B}^{2}}$=3$\sqrt{3}$．
設船速為v，則陸路車速為2v，
（1）若按方案①行進，則所用時間t₁=$\frac{OP}{v}$=$\frac{2\sqrt{13}}{v}$．
（2）若按方案②行進，所用時間t₂=$\frac{PA}{v}+\frac{OA}{2v}$=$\frac{2+2\sqrt{3}}{v}$．
（3）若按方案③行進，所用時間t₃=$\frac{PB}{v}+\frac{OB}{2v}$=$\frac{5+\frac{3}{2}\sqrt{3}}{v}$．
∵2$\sqrt{13}$＞6，2+2$\sqrt{3}$＜6，5+$\frac{3}{2}\sqrt{3}$＞6，
∴t₂＜t₁，t₂＜t₃．
∴方案②用時最省．

點評 本題考查了三角函數(shù)的定義，解直角三角形的應用，屬于中檔題．