Question

3．如圖：有一人在∠EOF=60°的V型碼頭內(nèi)位于P點(diǎn)的一艘船上，要想到達(dá)O地上岸，現(xiàn)有三種方案：
①自P直接航行到O；
②自P與OE垂直航行到A點(diǎn)登陸，再由陸路乘車直達(dá)O；
③自P與OF垂直航行到B點(diǎn)登陸，再由陸路乘車直達(dá)O；
現(xiàn)已知陸路車速為船速的2倍，PA=2km，PB=5km，問(wèn)：選擇哪種方案用時(shí)最省？并通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明．

Answer 1

分析 設(shè)∠PAO=α，分別在△OAP和△OBP中根據(jù)正弦函數(shù)的定義表示出OP，列出方程解出tanα，從而得到OA，OB，OP的距離，設(shè)船速為V，用V表示出三種方案所用時(shí)間，表較大小得出最佳方案．

解答 解：設(shè)∠PAO=α，則∠POB=60°-α．
∴PO=$\frac{PA}{sinα}=\frac{PB}{sin（60°-α）}$，即$\frac{2}{sinα}=\frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}cosα-\frac{1}{2}sinα}$，
∴$\sqrt{3}cosα$=6sinα．
∴tanα=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴OA=$\frac{PA}{tanα}$=4$\sqrt{3}$，∴OP=$\sqrt{P{A}^{2}+O{A}^{2}}$=2$\sqrt{13}$．OB=$\sqrt{O{P}^{2}-P{B}^{2}}$=3$\sqrt{3}$．
設(shè)船速為v，則陸路車速為2v，
（1）若按方案①行進(jìn)，則所用時(shí)間t₁=$\frac{OP}{v}$=$\frac{2\sqrt{13}}{v}$．
（2）若按方案②行進(jìn)，所用時(shí)間t₂=$\frac{PA}{v}+\frac{OA}{2v}$=$\frac{2+2\sqrt{3}}{v}$．
（3）若按方案③行進(jìn)，所用時(shí)間t₃=$\frac{PB}{v}+\frac{OB}{2v}$=$\frac{5+\frac{3}{2}\sqrt{3}}{v}$．
∵2$\sqrt{13}$＞6，2+2$\sqrt{3}$＜6，5+$\frac{3}{2}\sqrt{3}$＞6，
∴t₂＜t₁，t₂＜t₃．
∴方案②用時(shí)最�。�

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的定義，解直角三角形的應(yīng)用，屬于中檔題．