Question

3．在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，且橢圓C₁經(jīng)過點(diǎn)A（1，$\frac{3}{2}$），同時(shí)F₂也是拋物線C₂：y²=4x的焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）E，F(xiàn)是橢圓C₁上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意求得c=1，可得橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-1}=1$，將點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$）代入方程求得a值得答案；
（Ⅱ）寫出AE所在直線方程，y=k（x-1）+$\frac{3}{2}$，代入橢圓方程，求出E的坐標(biāo)，同理求出F的坐標(biāo)，然后代入斜率公式可得直線EF的斜率為定值，并求得這個(gè)定值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知，F(xiàn)₂（1，0），則c=1，b²=a²-1，橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-1}=1$．
將點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$）代入方程可得a²=4，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）設(shè)AE的方程為y=k（x-1）+$\frac{3}{2}$，
代入橢圓方程得：（4k²+3）x²-（8k²-12k）x+（4k²-12k-3）=0．
∵1是方程的一個(gè)根，∴${x}_{E}=\frac{4{k}^{2}-12k-3}{4{k}^{2}+3}$，①
∵直線AF與AE的斜率互為相反數(shù)，∴${x}_{F}=\frac{4{k}^{2}+12k-3}{4{k}^{2}+3}$，②
∵${y}_{E}=k（{x}_{E}-1）+\frac{3}{2}$，${y}_{F}=-k（{x}_{F}-1）+\frac{3}{2}$，
∴${k}_{EF}=\frac{{y}_{F}-{y}_{E}}{{x}_{F}-{x}_{E}}$=$\frac{-k（{x}_{F}+{x}_{E}）+2k}{{x}_{F}-{x}_{E}}$，
將①②代入可得${k}_{EF}=\frac{-k•\frac{8{k}^{2}-6}{4{k}^{2}+3}+2k}{\frac{24k}{4{k}^{2}+3}}=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．