Question

已知兩個(gè)向量

a

=（1+log₂|x|，log₂|x|），

b

=（log₂|x|，t）（x≠0）．
（1）若t=1且

a

⊥

b

，求實(shí)數(shù)x的值；
（2）對(duì)t∈R寫出函數(shù)f（x）=

a

•

b

具備的性質(zhì)．

Answer 1

分析：（1）欲求實(shí)數(shù)x的值，先根據(jù)

a

⊥

b

和t=1，有（1+log₂|x|，log₂|x|）•（log₂|x|，1）=0，再根據(jù)向量積的點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算公式計(jì)算即可得出x的值．
（2）要寫出函數(shù)的性質(zhì)，主要看奇偶性、單調(diào)性、最值這三個(gè)方面．

解答：解：（1）由已知得log₂²|x|+2log₂|x|=0（2分）
log₂|x|=0或log₂|x|=-2（4分）
解得x=±1或x=±

1

4

（6分）
（2）f（x）=log₂²|x|+（1+t）log₂|x|=0（8分）
具備的性質(zhì)：
①偶函數(shù)；
②當(dāng)log2|x|= -

1+t

2

即x=±2

1+t

2

時(shí)，
f（x）取得最小值-

(1+t)2

4

（寫出值域?yàn)?span id="xcfmvwf" class="MathJye">[ -

(1+t)2

4

，+m)也可）；
③單調(diào)性：在(0，2-

1+t

2

]上遞減，[2-

1+t

2

，+m)上遞增；
由對(duì)稱性，在[-2-

1+t

2

，0)上遞增，在(-m，-2-

1+t

2

]遞減

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量綜合知識(shí)，同時(shí)考查對(duì)數(shù)函數(shù)的相關(guān)知識(shí)．