Question

已知函數(shù)g（x）=

1

xsinθ

+lnx在[1，+∞）上為增函數(shù)，其中θ∈（0，π），
（1）求θ的取值集合；
（2）f（x）=mx-

m-1

x

-lnx（m∈R），若y=f（x）-g（x）在[1，+∞）上為單調函數(shù)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由原函數(shù)為[1，+∞）上為增函數(shù)，得其導函數(shù)在[1，+∞）上恒成立，通分整理后根據(jù)θ的范圍得到xsinθ-1≥0在[1，+∞）上恒成立，由正弦函數(shù)的值域結合角的范圍可得答案；
（2）求出函數(shù)y=f（x）-g（x）的解析式，利用函數(shù)在[1，+∞）上為單調函數(shù)，得其導函數(shù)在[1，+∞）上大于等于0或小于等于0恒成立，分離變量后利用函數(shù)的單調性可求范圍．

解答：解：（1）由g（x）=

1

xsinθ

+lnx在[1，+∞）上為增函數(shù)，得
g′(x)=-

1

x2sinθ

+

1

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，即

xsinθ-1

x2sinθ

≥0，
∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0，故xsinθ-1≥0在[1，+∞）上恒成立，
只需1•sinθ-1≥0，即sinθ≥1，結合θ∈（0，π），得θ=

π

2

．
所以，θ的取值集合為{

π

2

}；
（2）由（1）得，f（x）-g（x）=mx-

m

x

-2lnx，[f(x)-g(x)]′=

mx2-2x+m

x2

，
由于f（x）-g（x）在其定義域內為單調函數(shù)，
則mx²-2x+m≥0或mx²-2x+m≤0在[1，+∞）上恒成立，
即m≥

2x

1+x2

或m≤

2x

1+x2

在[1，+∞）上恒成立，
故m≥1或m≤0．
綜上，m的取值范圍是（-∞，0]∪[1，+∞）．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調性與其導函數(shù)的正負之間的關系，考查了數(shù)學轉化思想方法和分離參數(shù)法，訓練了利用函數(shù)的單調性求函數(shù)的最值，是中檔題．