Question

已知a∈R，解不等式

x

x-1

＞a+1．

Answer 1

分析：轉(zhuǎn)化分式不等式，通過(guò)a=0，a＞0，a＜0分別求解不等式的解集，即可．

解答：解：原不等式化為

-ax+(a+1)

x-1

＞0①
（1）當(dāng)a=0時(shí)，原不等式為

-1

x-1

＜0⇒x＞1．
在①中，分子中x的系數(shù)含有字母a，分類討論就從這里引起．
（2）當(dāng)a≠0時(shí)，原不等式化為

a(x- a+1 a )

x-1

＜0．     ②
對(duì)于不等式②，分子中的系數(shù)a不能隨意約去，因?yàn)楦鶕?jù)不等式的性質(zhì)，若給不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)負(fù)數(shù)，不等式的方向要改變．
當(dāng)a＞0時(shí)，原不等式等價(jià)于

x- a+1 a

x-1

＜0．
由于

a+1

a

＞1，可解得1＜x＜

a+1

a

．也可先確定兩根x₁，x₂ （x₁＜x₂），
然后直接寫出解集．
當(dāng)a＜0時(shí)，

a(x- a+1 a )

x-1

＜0等價(jià)于

x- a+1 a

x-1

＞0．
由

a+1

a

=1+

1

a

＜1可解得x＜

a+1

a

或x＞1．
綜上，當(dāng)a=0時(shí)原不等式的解集為（1，+∞）．
當(dāng)a＞0時(shí)，解集為(1，

a+1

a

)
當(dāng)a＜0時(shí)，解集為(-∞，

a+1

a

)∪(1，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分式不等式的解法，考查轉(zhuǎn)化思想分類討論思想，計(jì)算能力．